Vytvorené: 12. 11. 2013 Tlačiť

Algebra, v ktorej sú aritmetické operácie[1] nahradené logickými operáciami, ako AND, OR a NOT a s číslami sa pracuje v binárnom vyjadrení.

Autorom Booleovej algebry je filozof a matematik George Boole (1815-1864). Algebru a logiku spojil vo svojej knihe Skúmanie zákonov myslenia z roku 1854. V tom čase nepovšimnutá, hrá jeho algebra dodnes významnú úlohu v oblasti počítačov. 

Booleova algebra inak:

Booleova algebra slúži na matematický opis zákonov a pravidiel výrokovej logiky, ktorá rieši vzťahy medzi pravdivými a nepravdivými výrokmi.

Pravdivému výroku prideľujeme logickú hodnotu 1, nepravidelnému výroku logickú hodnotu 0. Nositeľom elementárnej informácie o pravdivosti alebo nepravdivosti výroku je logická premenná, ktorá môže nadobúdať dve hodnoty: 0 a 1.

Booleova algebra ešte inak:

Časť matematiky, ktorá sa používa na analýzu logických sústav.

Výpočty v BA sa opierajú o predpoklad, že logické sústavy môžu nadobúdať iba dva stavy:

  • pravdivý,
  • nepravdivý.

Pravdivosť a nepravdivosť sú dané dvoma logickými hodnotami, ktorým sa v číslicovej technike priraďujú číslové hodnoty 0 a 1.

Booleova algebra umožňuje opis vzťahov medzi stavmi v číslicovom obvode v tvare výrazov (logických funkcií) zapísaných podobne ako v obyčajnej algebre.

Booleova algebra podrobne:

Booleova algebra je vetvou matematiky pomenovanou podľa  anglického logika a matematika Georga Boolea, ktorý ako prvý publikoval práce z tejto oblasti.

Booleova algebra nie je algebra čísel, s ktorou sa stretávame v matematike. Je to algebra logických stavov. Vzhľadom ku klasickej algebre je preto inak definovaná, napríklad v nej vôbec nenájdeme operácie odčítania a delenia[2]

Základné funkcie Booleovej algebry sú:

  • logický súčet OR,
  • logický súčin AND,
  • negácia NOT. 

Medzi základné pravidlá Booleovej algebry patria:

A plus 0 je vždy A, ak je A=1 je to 1, ak je A=0 je to 0.

A krát 0 je vždy 0.

A plus 1 je vždy 1 bez ohľadu, akú logickú hodnotu má A.

A krát 1 je vždy A, ak je A=1 je to 1, ak A=0 je to 0… 

V Booleovej algebre pre logický súčet a logický súčin platia tieto zákony:

Vlastnosťou  Booleovej algebry je aj dualita. Ľubovoľnú logickú funkciu možno vyjadriť vhodným postupom aj v inom – duálnom tvare. O tejto vlastnosti pojednáva  De Morganov zákon, ktorý hovorí že logickú funkciu NAND je možné vyjadriť v inom – duálnom tvare pomocou negácie a funkcie OR a opačne, logickú funkciu NOR je možné vyjadriť v inom – duálnom tvare pomocou negácie a logickej funkcie AND.

Dualita logických hradiel AND a OR

Shannov teorém zobecňuje De Morganov zákon a hovorí, že každá logická funkcia, ktorá obsahuje logické premenná A, B, C…, medzi ktorými sú operácie logického sčítania OR a logického násobenia AND sa dá napísať v inom – duálnom tvare ako funkcia, ktorá obsahuje pôvodné logické premenné A, B, C…, ale negované a logické operácie OR a AND sa medzi sebou vymenia.

Kanonický tvar tohoto teorému môžeme napísať ako:

Napríklad pre logický výraz  (A + C) × (B + C) = Y môžeme podľa  Shannovho teorému napísať:

s použitím základných pravidiel Booleovej algebry môžeme ďalej písať:

ak na túto logický rovnicu aplikujeme Shannov teorém a s prihliadnutím na zákon druhej negácie, dostaneme:

Základné pravidlá a vlastnosť duality Booleovej algebry sa používajú a majú veľký význam pri navrhovaní a minimalizácií zložitejších logických funkcií a pri ich realizácií pomocou základných logických hradiel a integrovaných logických obvodov. 

Ak realizovaná logická funkcia obsahuje prevažne logické operácie NAND, NOT a len jednu logickú operáciu OR a ak ostanú v niekoľkých puzdrách integrovaných obvodov voľné hradlá NAND a NOT, je zbytočné pridať kvôli jednej funkcii OR ďalšie puzdro integrovaného obvodu. Funkcia NOR sa dá zrealizovať (s prihliadnutím na duálnu vlastnosť Booleovej algebry) pomocou voľných hradiel NAND a NOT.

[1] Ako sčítanie a odčítanie.
[2] Tieto funkcie v algebre stavov neexistujú.
Zdroje
Použitá, citovaná a odporúčaná interná „literatúra“:
· Booleova algebra (e-kniha/Matematika).
Hodnotenie užitočnosti článku:


    Historia elektromobilov Free e-kurzy Elektrina pre ZŠ Druhá svetová vojna Cvičebnice O troch pilieroch EP je spat Prehlad Fyzika Prehlad Informatika Ako sa učiť a ako učiť Dejiny sveta Dejiny Slovenska

     

    O VŠETKÝCH KURZOCH 

     

    · Simulácie z fyziky 
    · O Slovensku po slovensky 
    · Slovenské kroje
    · Kurz národopisu
    · Diela maliarov
    · Kontrolné otázky, Domáce úlohy, E-testy - Priemysel
    · Odborné obrázkové slovníky
    · Poradňa žiadaného učiteľa
    · Rýchlokurz Angličtiny
    . Rozprávky (v mp3)
    · PREHĽADY (PRIBUDLO, ČO JE NOVÉ?)
    Seriály:
    · História sveta (1÷6)
    · História Slovenska (1÷5)
    · História módy (1÷5).

                                       
    Členstvo na portáli
    Mám účet a chcem sa prihlásiť Prihlásiť sa
    Nemám účet, ale chcel by som ho získať Registrovať sa
    Poznámka pre autora

    Ak ste na stránke našli chybu, dajte nám vedieť

    Newsletter

    Nenechajte si ujsť žiadny nový článok

    @

    Copyright © 2013-2022 Wesline, s.r.o. Všetky práva vyhradené. Mapa stránky ako tabuľka | Kurzy | Prehľady